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By Nicolas Bourbaki

ISBN-10: 2705612610

ISBN-13: 9782705612610

PDF conversion and OCR of DJVU dossier: http://libgen.io/book/index.php?md5=F04F5518E0D7C75CED9F4103AF0DD7DE.

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Soit y un élément de A. j'y. Ainsi y est inversible (chap. I, § 2, n° 3, prop. 4), et 1 --z = y-1 est aussi inversible. COROLLAIRE 2 (lemme de Nakayama). — Soit M un A-module de type fini Si N est un sous-module de M tel que N 91(A)M = M, alors N M. Ceci résulte du cor. 1 de la prop. 6 et du cor. 3 de la prop. 3 (n° 2). COROLLAIRE 3. — Soient M un A-module de type fini, In un idéal à droite de A contenu dans 91(A). M) (chap. , App. II, cor. de la prop. 4). M ; d'où M = 10( (cor. 2). COROLLAIRE 4.

17) a) Soit A un anneau ne contenant aucun élément nilpotent e_ 0. Montrer que tout idempotent e de A appartient au centre de A (considérer les éléments (1 — e)xe et ex(1 — e)). b)Soit A un anneau régulier (exerc. 15) ne contenant aucun élément nilpotent e 0. Montrer que pour tout a 0 dans A, il existe x e A tel que e ex = xa soit un idempotent (appartenant au centre de A). tel que ea = ae = a ; en déduire que pour tout y e A, il existe z e A tel que ga = az, et par suite que tout idéal à gauche on à droite dans A est bilatère.

Soit A un anneau commutatif. Les propositions sui- vantes sont éqUivalentes : 0. a) A est artinien et ne contient aucun élément nilpotent b) A est semi-simple. c) A est composé direct d'un nombre fini de corps. • D'après le cor. du th. 3, a) équivaut à dire que A est artinien et sans radical ; l'équivalence de a) et b) est donc un cas particulier du cor. 2 du th. 4. L'équivalence de b) et c) résulte de la prop. 12 et du th. 2 du § 5, no. 4. c) M est noethérien. On sait que a) entraîne b) et c) (§ 2, n° 1, prop.

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Algèbre : Chapitre 8 by Nicolas Bourbaki


by Steven
4.2

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